Question

5．已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）•（x-3a）＜0}．
（1）若a=-1，求A∩（∁_RB）；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，求出a=-1时的集合B以及∁_RB，再计算A∩（∁_RB）；
（2）讨论a的值，求出B对应的集合，从而得出满足A∩B=∅时a的取值范围．

解答 解：（1）∵集合A={x|x²-6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，
a=-1时，B={x|（x+1）•（x+3）＜0}={x|-3＜x＜-1}，
∴∁_RB={x|x≤-3或x≥-1}，
∴A∩（∁_RB）={x|2＜x＜4}；
（2）当A∩B=∅时，
若a＞0，则B={x|a＜x＜3a}，须a≥4或3a≤2，
解得0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥4；
若a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，须a≤2或a≥$\frac{4}{3}$；
解得a＜0时成立，验证当a=0时也成立；
综上，a≤$\frac{2}{3}$或a≥4时，A∩B=∅．

点评 本题考查了转化思想的应用，不等式组的解法，分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．