Question

设f(x)=

1+x

1-x

，又记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，则f₂₀₁₂（x）=（　　）

• A．

  1+x

  1-x

• B．

  x-1

  x+1

• C．x
• D．-

  1

  x

Answer 1

分析：根据递推公式f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，可以递推出前几项，能不完全归纳出周期T=4，所以f₂₀₁₂（x）=f₄（x）=x，从而得出答案．

解答：解：由题意知
∵f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，
∴f₁（x）=f（x），
 f₂（x）=f（f₁（x））=-

1

x

；
 f₃（x）=f（f₂（x））=

x-1

x+1

；
 f₄（x）=f（f₃（x））=x；
 f₅（x）=f（f₄（x））=

1+x

1-x

；
…
归纳出规律：f_k（x）以周期T=4的周期数列，
∴f₂₀₁₂（x）=f₄（x）=x，
故选C．

点评：本题主要考查由递推公式，递推出数列的前几项，归纳出一定的规律，即周期为T=4的周期数列，对学生的不完全归纳法的思想能力要求比较高．