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对于定义在D上的函数y=f(x),若同时满足①存在闭区间[a,b]⊆D,使得任取x1∈[a,b],都有f(x1)=c(c是常数);②对于D内任意x2,当x2∉[a,b]时总有f(x2)>c;则称f(x)为“平底型”函数.
(1)判断f1(x)=|x-1|+|x-2|,f2(x)=x+|x-2|是否是“平底型”函数?简要说明理由;
(2)设f(x)是(1)中的“平底型”函数,若|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x),(k∈R,k≠0)对一切t∈R恒成立,求实数x的范围;
(3)若是“平底型”函数,求m和n的值.
【答案】分析:(1)考查函数是否全部具备“平底型”函数的定义中的2个条件:①在一个闭区间上,函数值是个常数,②在闭区间外的定义域内,函数值大于此常数.
(2)要使一个式子大于或等于f(x)恒成立,需使式子的最小值大于或等于f(x)即可,从而得到f(x)≤2,
结合“平底型”函数f(x)的图象可得,当x∈[0.5,2.5]时,f(x)≤2成立.
(3)假定函数是“平底型”函数,则函数解析式应满足“平底型”函数的2个条件,化简函数解析式,检验“平底型”函数的2个条件同时具备的m、n值是否存在.
解答:解:(1)f1(x)=|x-1|+|x-2|是“平底型”函数,
存在区间[1,2]使得f1(x)=1,在区间[1,2]外,f1(x)>1,
f2(x)=x+|x-2|不是“平底型”函数,
∵在(-∞,0]上,f2(x)=2,在(-∞,0]外,f2(x)>2,(-∞,0]不是闭区间.
(2)若|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x),(k∈R,k≠0)对一切t∈R恒成立
即  f(x)≤|-1|+|+1|,
∵|-1|+|+1|的最小值是2,∴f(x)≤2,
又由f(x)=|x-1|+|x-2|,得 x∈[0.5,2.5]时,f(x)≤2,故x的范围是[0.5,2.5].
(3)∵是“平底型”函数
x2+2x+n=(mx-c)2
则m2=1,-2mc=2,c2=n;解得m=1,c=-1,n=1,①,或m=-1,c=1,n=1,②
①情况下,f(x)=是“平底型”函数;
②情况下,f(x)=不是“平底型”函数;
综上,当m=1,n=1时,为“平底型”函数.
点评:本题的考点是函数恒成立问题,综合考查函数概念及构成要素,及不等式中的恒成立问题,体现等价转化和分类讨论的数学思想,关键是对新概念的理解.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义在D上的函数y=f(x),若同时满足.
①存在闭区间[a,b]⊆D,使得任取x1∈[a,b],都有f(x1)=c (c是常数);
②对于D内任意x2,当x2∉[a,b]时总有f(x2)>c称f(x)为“平底型”函数.
(1)(理)判断f1(x)=|x-1|+|x-2|,f2(x)=x+|x-2|是否是“平底型”函数?简要说明理由;
(文)判断f1(x)=|x-1|+|x-2|,f2(x)=x-|x-3|是否是“平底型”函数?简要说明理由;
(2)(理)设f(x)是(1)中的“平底型”函数,若|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x),k∈R且k≠0,对一切t∈R恒成立,求实数x的范围;
(文)设f(x)是(1)中的“平底型”函数,若|t-1|+|t+1|≥f(x),对一切t∈R恒成立,求实数x的范围;
(3)(理)若F(x)=mx+
x2+2x+n
,x∈[-2,+∞)是“平底型”函数,求m和n的值;
(文)若F(x)=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数,求m和n满足的条件.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义在D上的函数f(x),若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2,使得对任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立,则称函数f(x)(x∈D)有一个宽度为d的通道.给出下列函数:①f(x)=
1
x
,②f(x)=sinx,③f(x)=
x2-1
,其中在区间[1,+∞)上通道宽度可以为1的函数有(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义在D上的函数y=f(x),若同时满足①存在闭区间[a,b]⊆D,使得任取x1∈[a,b],都有f(x1)=c(c是常数);②对于D内任意x2,当x2∉[a,b]时总有f(x2)>c;则称f(x)为“平底型”函数.
(1)判断f1(x)=|x-1|+|x-2|,f2(x)=x+|x-2|是否是“平底型”函数?简要说明理由;
(2)设f(x)是(1)中的“平底型”函数,若|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x),(k∈R,k≠0)对一切t∈R恒成立,求实数x的范围;
(3)若F(x)=mx+
x2+2x+n
,x∈[-2,+∞)
是“平底型”函数,求m和n的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义在D上的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上值域为[a,b],则函数y=f(x)(x∈D)称为闭函数.按照上述定义,若函数y=
2x
为闭函数,则符合条件②的区间[a,b]可以是
[1,2]或[-2,-1]等等(答案不唯一)
[1,2]或[-2,-1]等等(答案不唯一)

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义在D上的函数f(x),如果存在常数M和N,使得对于任意x∈D,都有M≤f(x)≤N成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的一个下界,N称为函数f(x)的一个上界.
(1)判断函数f(x)=log2x-x2在(0,+∞)上是否为有界函数,不必说明理由;
(2)判断函数f(x)=1+(
1
2
x+(
1
4
x在[0,+∞)上是否为有界函数,请说明理由
(3)若函数f(x)=1+a(
1
2
x+(
1
4
x在[0,+∞)上是有界函数,且3是f(x)的一个上界,-3是f(x)的一个下界,求实数a的取值范围.

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