已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解:f'(x)=-3x
2+3a=-3(x
2-a)
若a≤0,则f'(x)=-3(x
2-a)≤0,此时函数f(x)单调递减,
所以当x=0时,f(x)取得最大值,f(x)
max=f(0)=0
若a>0,令f'(x)=-3(x
2-a)=0,解得
,
∵x∈[0,1],则只考虑
的情况,如表所示:
①当0<a<1时,根据函数的增减性得,
当
时,f(x)有最大值,f(x)
max=f(
)=
;
②当
≥1,即a≥1时,根据函数的增减性得
当x=1时,f(x)有最大值.f(x)
max=f(1)=3a-1.
综合以上可知:
当a≤0时,x=0,f(x)有最大值0;
当0<a<1时,x=
,f(x)有最大值
;
当a≥1时,x=1,f(x)有最大值3a-1.
分析:求函数f(x)=-x
3+3ax的导数,对方程f'(x)=-3(x
2-a)=0有无实根,和有根,根是否在区间[0,1]内进行讨论,求得函数的极值,再与f(0)、f(1)比较大小,确定函数的最大值.
点评:考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题,对方程f'(x)═0有无实根,和有根,根是否在区间[0,1]内进行讨论,体现了分类讨论的思想方法,增加了题目的难度,属中档题.