Question

设向量

a

=(cos

3θ

2

，  sin

3θ

2

)，

b

=(cos

θ

2

，  -sin

θ

2

)，其中θ∈[0，  

π

3

]．
（1）求

a • b

| a + b |

的最大值和最小值；
（2）若|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式求出

a

•

b

，利用向量的坐标运算和向量模的平方等于向量的平方求出

a • b

| a + b |

的值
（2）将已知等式平方，得到关于k，θ的等式，利用三角函数的有界性，列出关于k的不等式，解不等式求出k的范围．

解答：解：（1）

a

•

b

=(cos

3θ

2

，  sin

3θ

2

)•(cos

θ

2

，  -sin

θ

2

)=cos

3θ

2

cos

θ

2

-sin

3θ

2

sin

θ

2

=cos2θ．
|

a

+

b

|=

( a + b )2

=2cosθ
于是

a • b

| a + b |

=

cos2θ

2cosθ

=

2cos2θ-1

2cosθ

=cosθ-

1

2cosθ

．
因为θ∈[0，  

π

3

]，所以cosθ∈[

1

2

，  1]．
故当cosθ=

1

2

即θ=

π

3

时，

a • b

| a + b |

取得最小值-

1

2

；当cosθ=1即θ=0时，

a • b

| a + b |

取得最大值

1

2

．
（2）由|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|得
|k

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2?k2+1+2kcos2θ=3(1+k2)-6kcos2θ?cos2θ=

k2+1

4k

．
因为θ∈[0，  

π

3

]，所以-

1

2

≤cos2θ≤1．
不等式-

1

2

≤

k2+1

4k

≤1?

(k-1)2 4k ≥0    k2-4k+1 4k ≤0

解得2-

3

≤k≤2+

3

或k=-1，
故实数k的取值范围是[2-

3

，  2+

3

]∪{-1}．

点评：解决向量的数量积问题：要考虑数量积的坐标形式的公式及向量的模、夹角形式的公式；解决有关向量的模的问题，一般将向量的模平方：利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的运算法则解决．