Question

已知向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，-1），

m

•

n

=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积计算

m

•

n

，得到A 的三角函数式，即可求出A．
（2）把A代入函数f（x）并化简，利用三角函数的有界性，求得值域．

解答：解：（1）由题意得

m

•

n

=

3

sinA-cosA=1，2sin（A-

π

6

）=1，sin（A-

π

6

）=

1

2

，
由A为锐角得A-

π

6

=

π

6

，A=

π

3

．
（2）由（1）知cosA=

1

2

，所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-

1

2

）²+

3

2

，
因为x∈R，所以sinx∈[-1，1]，
因此，当sinx=

1

2

时，f（x）有最大值

3

2

．
当sinx=-1时，f（x）有最小值-3，
所以所求函数f（x）的值域是[-3，

3

2

]．

点评：本题考查平面向量的数量积，两角和与两角差的三角函数，以及函数值域问题，是中档题．