Question

16．已知w＜0且|w|＜1函数$f（x）=sin（wx+\frac{π}{4}）$．
（1）若$w=-\frac{1}{2}$，求函数f（x）的最小正周期，对称中心，对称轴．
（2）若f（x）在$（\frac{π}{2}，π）$上单调递减，求w的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据最小正周期公式直接求解周期，根据正弦函数的性质求解对称中心，对称轴．
（2）将内层函数放到正弦函数的单调减区间上，求解出单调减区间，根据在$（\frac{π}{2}，π）$上单调递减，建立不等式可得w的取值范围．

解答 解：（1）函数$f（x）=sin（wx+\frac{π}{4}）$．
若$w=-\frac{1}{2}$，可得f（x）=sin（$-\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{|ω|}=4π$，
由$-\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ，（k∈Z）
得：x=$\frac{π}{2}$-2kπ
∴对称中心位（$\frac{π}{2}$-2kπ，0），（k∈Z）．
由$-\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ$+\frac{π}{2}$，（k∈Z）
得：x=$-\frac{π}{2}-2kπ$，
∴对称轴方程为：x=$-\frac{π}{2}-2kπ$，（k∈Z）．
（2）由函数$f（x）=sin（wx+\frac{π}{4}）$．
∵w＜0且|w|＜1，
∴f（x）=-sin（-ωx-$\frac{π}{4}$）
∴函数f（x）的单调递减为：-$\frac{π}{2}+2kπ≤$-ωx-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$．
解得：$\frac{π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≥x≥-\frac{3π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}$，（k∈Z）．
∵f（x）在$（\frac{π}{2}，π）$上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4ω}+\frac{2k}{ω}≥\frac{1}{2}}\\{-\frac{3}{4ω}+\frac{2k}{ω}≤1}\end{array}\right.$，可得：$-\frac{3}{4}+2k≤ω≤\frac{1}{2}+4k$．
∵w＜0且|w|＜1，
当k=0时，可得$-\frac{3}{4}≤ω＜0$．
∴w的取值范围是[$-\frac{3}{4}$，0）．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．