Question

15．设a，b，c∈R⁺，求证：a+b+c≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$≤$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$．

Answer 1

分析 分别利用重要不等式以及变形用对中间部分和右边部分变形，进行证明即可．

解答 证明：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$≥$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}$=$\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}+\frac{ab}{2c}+\frac{ac}{2b}+\frac{bc}{2a}+\frac{ac}{2b}$≥a+b+c；
$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$=$\frac{{a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}}{abc}$=$\frac{{a}^{4}+{b}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}+{c}^{4}+{a}^{4}}{2abc}$≥$\frac{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}+（{b}^{2}+{c}^{2}）^{2}+（{c}^{2}+{a}^{2}）^{2}}{4abc}$≥$\frac{2ab（{a}^{2}+{b}^{2}）+2bc（{b}^{2}+{c}^{2}）+2ac（{c}^{2}+{a}^{2}）}{4abc}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}+\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2a}+\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$；
所以a，b，c∈R⁺，a+b+c≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$≤$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$．

点评 本题考查了重要不等式以及变形不等式证明不等式；属于中档题．