Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（c＞0）的导函数的图象如图所示：
（1）求a，b；
（2）令g（x）=

f(x)

x

，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=2ax+b，根据图象可得f′（x）=2x+1，由此可得a，b的方程组；
（2）由（1）先求出g（x），从而可得g′（x）=

(x+ c )(x- c )

x2

，分

c

≤1，1＜

c

＜2，

c

≥2三种情况进行讨论，根据导数符号与单调性的关系可得最大值；

解答：解：（1）因为f′（x）=2ax+b，由图可知，f′（x）=2x+1，
由

2a=2 b=1

，解得

a=1 b=1

，
（2）g（x）=

f(x)

x

=

x2+x+c

x

=x+

c

x

+1，则g′（x）=1-

c

x2

=

(x+ c )(x- c )

x2

，
①若

c

≤1，即0＜c≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]上递增，
故g（x）_max=g（2）=

1

2

c+3；
②若1＜

c

＜2，即1＜c＜4，
当1≤x＜

c

时，g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；当

c

＜x≤2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；
又g（1）=c+2，g（2）=

1

2

c+3，
所以当1≤c≤2时，g（1）≤g（2），即g（x）_max=g（2）=

1

2

c+3；
当2＜x≤4时，g（1）＞g（2），即g（x）_max=g（1）=c+2；
③若

c

≥2，即c≥4时，g′（x）≤0，g（x）在[1，2]上单调递减，
故g（x）_max=g（1）=c+2；
综上所述，g(x)max=

1 2 c+3，0＜c≤2 c+2，c＞2

；

点评：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值、函数解析式的求法，考分类讨论思想，属中档题．