Question

4．已知tanθ+cotθ=2，求：
（1）sinθ•cosθ；
（2）sinθ+cosθ；
（3）sin³θ+cos³θ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得 sinθcosθ 的值．
（2）分类讨论，根据sinθ+cosθ=±$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$，计算求的结果．
（3）由条件利用立方差公式以及（1）、（2）的结论，计算求的结果．

解答 解：（1）由于tanθ+cotθ=2=$\frac{sinθ}{cosθ}$+$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{sinθcosθ}$，∴sinθcosθ=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得sinθ、cosθ同号，故角θ是第一或第三象限角，
当θ是第一象限角，sinθ+cosθ=$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=$\sqrt{1+2sinθcosθ}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$；
当θ是第三象限角sinθ+cosθ=-$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=-$\sqrt{1+2sinθcosθ}$=-$\sqrt{1+1}$=-$\sqrt{2}$．
（3）当θ是第一象限角时，sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ）=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当θ是第三象限角时，sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ）=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．