Question

已知

2x+y-5≥0 3x-y-5≤0 x-2y+5≥0

，则z=（x+1）²+（y+1）²的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件

2x+y-5≥0 3x-y-5≤0 x-2y+5≥0

的可行域，由于z=（x+l）²+（y+l）²，则它表示可行域内的点到（-1，-1）的距离的平方，结合图象分析不难得到结果．

解答：解：作出不等式组

2x+y-5≥0 3x-y-5≤0 x-2y+5≥0

的可行域如图，
由

x-2y+5=0 2x+y-5=0

，∴A（1，3），
由

x-2y+5=0 3x-y-5=0

，∴B（3，4），
由

3x-y-5=0 2x+y-5=0

，∴C（2，1）．
设z=（x+l）²+（y+l）²，则它表示可行域内的点到（-1，-1）的距离的平方，
所以（-1，-1）到点B的距离最大，到点C的距离最小，
所以z_min=13，z_max=41．
故答案为：[13，41]

点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．