Question

17．数列{a_n}的前n项和为S_n=-n²+16n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n：
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简计算即可得到通项公式；
（2）讨论当1≤n≤8时，|a_n|=a_n，当n≥9，|a_n|=-a_n=2n-17，运用等差数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）∵S_n=-n²+16n-2，
∴n＞1时，S_n-1=-（n-1）²+16（n-1）-2，
当n=1时，a₁=S₁=13，
a_n=S_n-S_n-1=-2n+17，
当n=1时，-2n+17=14≠a₁，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{13，n=1}\\{-2n+17，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由-2n+17≥0得n≤$\frac{17}{2}$．
∴当1≤n≤8时，|a_n|=a_n，
当n≥9，|a_n|=-a_n=2n-17，
当n≤8时，|a_n|中第一项是13，
第二项起是以13为首项，-2为公差的等差数列，
∴前n项和T_n=13+13（n-1）+$\frac{1}{2}$（n-1）（n-2）•（-2）=-2+16n-n²（1＜n≤8），
当n≥9时，此时|a_n|的前8项之和已得出为62，
|a_n|的后n-8项是以1为首项，2为公差的等差数列，后n-8项的和为
T_n'=（n-8）×1+$\frac{1}{2}$（n-8）（n-9）×2=n²-16n+64，
∴T_n=62+T_n'=n²-16n+126．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2+16n-{n}^{2}，n≤8}\\{{n}^{2}-16n+126，n≥9}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式和应用，解题时要认真审题，仔细解答．