Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，BD是对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB＝.

(1)求证：PO⊥平面ABCE；
(2)求二面角E­AP­B的余弦值．

Answer 1

(1)见解析   (2)

解：(1)证明：由已知得AB＝3，AD＝6，
∴BD＝9.
在矩形ABCD中，∵AE⊥BD，
∴Rt△AOD∽Rt△BAD，
∴＝，∴DO＝4，∴BO＝5.
在△POB中，PB＝，PO＝4，BO＝5，
∴PO²＋BO²＝PB²，
∴PO⊥OB.又PO⊥AE，AE∩OB＝O，
∴PO⊥平面ABCE.
(2)∵BO＝5，
∴AO＝＝2.
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4)，

A(2，0,0)，B(0,5,0)，
＝(2，0，－4)，＝(0,5，－4)．
设n₁＝(x，y，z)为平面APB的法向量．
则即
取x＝2得n₁＝(2，4,5)．
又n₂＝(0,1,0)为平面AEP的一个法向量，
∴cos〈n₁，n₂〉＝＝＝，
故二面角E­AP­B的余弦值为.