分析 (Ⅰ)数列{an}单调递增.由an-an-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}$>0,即可得到结论;
(Ⅱ)(i)运用配方,结合数列的单调性,即可得证;
(ii)由$\frac{1}{2-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n-1}}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{2{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$,n≥2.运用裂项相消求和和不等式的性质,即可得证.
解答 解:(Ⅰ)数列{an}单调递增.
理由如下:由an2-2an+2an-1=0,可得
an-an-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}$>0(n≥2),
即为an>an-1,则数列{an}单调递增;
(Ⅱ)(i)证明:由上面可得an≥a1=$\frac{1}{2015}$>0,
又an2-2an+2an-1=0,即为(an-1)2=1-2an-1,
即有(an+1-1)2=1-2an≥0,即an≤$\frac{1}{2}$,
即有0≤an≤$\frac{1}{2}$;
(ii)$\frac{1}{2-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n-1}}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$
=$\frac{2{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$,n≥2.
即有原式=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+($\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$)+($\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$)+…+($\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$)
=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2015+$\frac{{a}_{n}-(2-{a}_{1})}{(2-{a}_{1}){a}_{n}}$,
由1<2-a1<2,0≤an≤$\frac{1}{2}$,
可得an-(2-a1)<0,即有2015+$\frac{{a}_{n}-(2-{a}_{1})}{(2-{a}_{1}){a}_{n}}$<2015.
则$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{2-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2-{a}_{n}}$≤2015.
点评 本题考查数列的单调性的判断和运用,注意运用单调性的定义,考查不等式的证明,注意运用裂项相消求和和不等式的性质,属于难题.
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A. | sinα=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$ | B. | cosα=$\frac{\sqrt{13}}{2}$ | C. | cosα=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$ | D. | tanα=$\frac{3}{2}$ |
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