Question

在四棱锥中，，，，为的中点，为的中点，．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）证明过程详见试题解析；（2）证明过程详见试题解析；（3）.

试题分析：（1）由为的中点，为的中点，可得,平面,那么由线面平行的判定可以得到；（2）取的中点,连结,由于,,所以,那么,故，又,平面,有平面,得到,即,从而得到平面,从而得到; （3）要求三棱锥的体积，由（2）有为三棱锥的高，利用体积公式求出即可.
试题解析：（1）因为为的中点，为的中点，则在的中， 
又 
则∥平面.
（2）证明:取中点，连接.

在中，，，
则,．
而，则在等腰三角形中 . ①
又在中，,
则∥ 
因为平面，平面，则，
又，即，则平面，所以 
因此． ②
又，由①②知 平面．
故 
（3）由（1）（2）知 , ，
因为平面， ∥，则平面 
因此为三棱锥的高
而 
故