【题目】已知,函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围;
(3)已知当时,函数有两个零点,,求证:.
【答案】(1)见解析(2) (3)见解析
【解析】
试题分析:(1)求出,分两种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(2)分两种情况讨论,当,利用一次函数的性质求解,当时, ,设,只需令即可;(3)由,原不等式转化为证明,∵,∴,所以的两个零点,利用导数研究函数的单调性,只需证明只需证 即可得结论.
试题解析:((1),∴,
当时,在上单调递增,
当时,考虑时,令 ,
①时,在单调递减,在单调递增;
②时,在单调递减,在单调递增.
(2)方法一:(参变分离)
,
当时,,
∴ .
当时, ,
设,∴ ,
∴在单调递减,
∴,∴,
综上所述:.
方法二:(最值法)
若,只需,,
由(1)可得:
①当时,在上单调递增,
∴即可,解得:,
∴.
②当时,在单调递减,在单调递增,
∴,
∴,
③时,在单调递减,在单调递增,
∴,
即,令,
设,则,
∴在单调递减,
而,所以原不等式无解.
(此处也不构造函数,,显然时,此式小于零,即可证明)
综上所述:.
(3)注意到,所以所证明不等式转化为证明,
∵,∴,
所以的两个零点.
方法一:
由可得:,
∴,∴,
令,则,
令,,则当时,
,
∴在单调递减,∴,即,
∴在单调递减,,即,
∵时,在均单调递减,
∴.
方法二:同方法一可知,下面考虑证明,
∴,
下证:,∵,
所以只需证,由,
所以只需证 ,
令,,
∴,,,
∴在单调递减,
∴,
∴在单调递减,∴,
∴ ,
所以得证,
∵时,在均单调递减,
∴.
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【题目】在平面直角坐标系中,点、分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为,点在双曲线上,不在轴上的动点与动点关于原点对称,且四边形的周长为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点的直线交的轨迹于,两点,为上一点,且满足,其中,求的取值范围.
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【题目】春节过后,甲、乙、丙三人谈论到有关部电影,,的情况.
甲说:我没有看过电影,但是有部电影我们三个都看过;
乙说:三部电影中有部电影我们三人中只有一人看过;
丙说:我和甲看的电影有部相同,有部不同.
假如他们都说的是真话,则由此可判断三部电影中乙看过的部数是( )
A.部B.部C.部D.部或部
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【题目】如图,在四棱锥E-ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.
(I)求棱锥C-ADE的体积;
(II)求证:平面ACE⊥平面CDE;
(III)在线段DE上是否存在一点F,使AF∥平面BCE?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】三角形的三个顶点的坐标分别为,,,则该三角形的重心(三边中线交点)的坐标为.类比这个结论,连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线,四面体的四条中线交于一点,该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为,,,,则该四面体的重心的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )
A.12种B.24种C.36种D.48种
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