【答案】
分析:(1)f′(x)=3x
2+2ax+b,由f(x)在点x=0处取得极值,可得f′(0)=0,解得b=0.
可得
.利用取得
可知a≠0时,b=0时,利用取得极值的条件即可得出.
(2)由于f(x)在单调区间[0,3]和[5,6]上具有相反的单调性.
可知:f′(x)区间[0,3]和[5,6]上具有相反的符号.分为以下两种情况:
1°若f′(x)区间[0,3]上f′(x)>0,则[5,6]上f′(x)<0.
2°若f′(x)区间[0,3]上f′(x)<0,则[5,6]上f′(x)>0.对a分类讨论即可.
解答:解:(1)f′(x)=3x
2+2ax+b,∵f(x)在点x=0处取得极值,∴f′(0)=0,解得b=0.
∴
.
可知a≠0时,b=0时,f′(x)在x=0处的左右符号相反,因此函数f(x)在点x=0处取得极值.
(2)由(1)可知:
=
.
∵f(x)在单调区间[0,3]和[5,6]上具有相反的单调性.
∴f′(x)区间[0,3]和[5,6]上具有相反的符号.分为以下两种情况:
1°若f′(x)区间[0,3]上f′(x)>0,则[5,6]上f′(x)<0.
2°若f′(x)区间[0,3]上f′(x)<0,则[5,6]上f′(x)>0.
①当a>0时,f′(x)在区间[0,+∞)单调递增,∴f′(3)≤0,且f′(5)≥0,解得
,应舍去;
②当a<0时,
.f′(x)在区间[0,
单调递减,在区间
单调递增.
∵f′(0)=0,∴必有
,解得
.
综上可知:实数a的取值范围是
.
点评:熟练掌握利用导数研究函数取得极值的条件、单调性、二次函数的单调性是解题的关键.