Question

若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。
(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；
(2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。
(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。

Answer 1

解：设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，由得
可知y₁+y₂=－2m  y₁y₂="2c  " ∴x₁+x₂=2m²—2c  x₁x₂= c²,
(1)当m=－1,c=－2时，x₁x₂ +y₁y₂="0" 所以OA⊥OB.
(2)当OA⊥OB时，x₁x₂ +y₁y₂="0" 于是c²+2c="0" ∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：过定点(2,0).
(3)由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。
而(m²—c+)²－[(m²—c)²+m² ]= 由(2)知c=－2 
∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。

略