Question

已知动圆过定点，且与直线l：相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；
（Ⅱ）设A（x，y）为轨迹C上一定点，经过A作直线AB、AC 分别交抛物线于B、C 两点，若 AB 和AC 的斜率之积为常数c．求证：直线 BC 经过一定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M为动圆圆心，过点M作直线l：的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|，由抛物线的定义知，
点M的轨迹是以为焦点，l：为准线的抛物线，从而求得其轨迹方程． 
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出BC的斜率，用点斜式求得BC的方程2px-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，再根据
AB 和AC 的斜率之积为常数c，得到，，可得BC的方程为，可得直线BC经过定点．
解答：解：（Ⅰ）设M为动圆圆心，设F，过点M作直线l：的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中为焦点，l：为准线，所以轨迹方程为y²=2px（p＞0）．
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
于是（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁-x₂），∴BC的斜率 ．
所以，直线BC的方程为，即2px-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0.，
所以，．
所以，直线BC的方程为．
即．  于是，直线BC经过定点．
点评：本题考查抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，用点斜式求直线的方程，求出直线BC的方程为，是解题的难点．