Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y-2=0，其中a，b，c为常数．
（Ⅰ）函数f（x）是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a表示）；
（Ⅱ）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，由题意，知m=2，b=-2a-3，c=a+4，f′(x)=3x2+2ax-(2a+3) =3(x-1)(x+1+

2a

3

)，由此进行分类讨论能求出单调减区间．
（Ⅱ）由x=1不是函数f（x）的极值点，a=-3，b=3，c=1，f（x）=x³-3x²+3x+1=（x-1）³+2，设点P（x₀，y₀）是函数f（x）的图象上任一点，则y₀=f（x₀）=（x₀-1）³+2，点p（x₀，y₀）关于点M（1，2）的对称点为Q（2-x₀，4-y₀），再由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，（1分）
由题意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f′（1）=3+2a+b=0，
即b=-2a-3，c=a+4（2分）
f′(x)=3x2+2ax-(2a+3) =3(x-1)(x+1+

2a

3

)，（3分）
1当a=-3时，f′（x）=3（x-1）²≥0，函数f（x）在区间（-∞，+∞）上单调增加，
不存在单调减区间；（5分）
2当a＞-3时，-1-

2a

3

＜1，有

x	（-∞，-1- 2a 3 ）	（-1- 2a 3 ，1）	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

∴当a＞-3时，函数f（x）存在单调减区间，为[-1-

2a

3

，1]（7分）
3当a＜-3时，-1-

2a

3

＞1，有

x	（-∞，1）	（1，-1- 2a 3 ）	（-1- 2a 3 ，+∞）
f′（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

∴当a＜-3时，函数f（x）存在单调减区间，为[1，-1-

2

3

a]（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x=1不是函数f（x）的极值点，则a=-3，
b=3，c=1，f（x）=x³-3x²+3x+1=（x-1）³+2（10分）
设点P（x₀，y₀）是函数f（x）的图象上任意一点，则y₀=f（x₀）=（x₀-1）³+2，
点p（x₀，y₀）关于点M（1，2）的对称点为Q（2-x₀，4-y₀），
∵f（2-x₀）=（2-x₀-1）³+2=-（x₀-1）³+2=2-y₀+2=4-y₀
∴点Q（2-x₀，4-y₀）在函数f（x）的图象上．
由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．（14分）

点评：本题考查函数的单调性，具有一定的难度，解题时要结合导数的性质，合理地进行解答．