Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=

1

2

（1）求f（

1

2

），f（

1

n

）+f（

n-1

n

）的值；
（2）若数列{a_n}满足a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

4

4an-1

（n∈N₊），c_n=b_nb_n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1））在f（x）+f（1-x）=

1

2

中，分别取x=

1

2

，x=

1

n

，即可易求．
（2）根据（1），不难想到应用倒序相加法求解．
（3）由（2）求得b_n=

4

4an-1

=

4

n

，c_n=b_nb_n+1=

4

n

•

4

n+1

=16（

1

n

-

1

n+1

）裂项后求和．

解答：解：（1）在f（x）+f（1-x）=

1

2

中，
令x=

1

2

，可得f（

1

2

）+f（

1

2

）=

1

2

，所以f（

1

2

）=

1

4

令x=

1

n

，可得f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=

1

2

（2）a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），又可以写成
a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）+…+f（

1

n

）+f（0），
两式相加得，2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…[f（1）+f（0）]
=（n+1）[f（0）+f（1）]=

n+1

2

∴a_n=

n+1

4

（3）b_n=

4

4an-1

=

4

n

，c_n=b_nb_n+1=

4

n

•

4

n+1

=16（

1

n

-

1

n+1

）

∴T_n=16[（

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=16（1-

1

n+1

）=

16n

n+1

点评：本题是函数与数列的综合，考查了赋值法、倒序相加求通项，裂项法求和，题目设计有梯度，很好的展现基础知识和基本能力．