Question

18．已知α∈（$\frac{π}{6}$，π），$\overrightarrow{a}$=（sin（2α+β），sinβ），$\overrightarrow{b}$=（3，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x），当f（x）=$\frac{1}{3}$时，α=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，得出sin（2α+β）-3sinβ=0，用拆项法化简得出sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
弦化切得出tan（α+β）=2tanα，再利用两角和的正切公式，结合tanα=x，tanβ=y，得出x与y的关系式，利用f（x）=$\frac{1}{3}$求出对应x的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（sin（2α+β），sinβ），$\overrightarrow{b}$=（3，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴sin（2α+β）-3sinβ=0，
即sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]；
∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，
化简得sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
即tan（α+β）=2tanα，
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα；
又tanα=x，tanβ=y，
∴$\frac{x+y}{1-xy}$=2x，
解得y=f（x）=$\frac{x}{1+2x}$；
令f（x）=$\frac{1}{3}$，即$\frac{x}{1+2x}$=$\frac{1}{3}$，
解得x=1或x=$\frac{1}{2}$，
∴tanα=1或tanα=$\frac{1}{2}$；
又∵α∈（$\frac{π}{6}$，π），
∴tanα=1，
∴α=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合性题目．