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【题目】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,AA1⊥底面ABCD,∠BAD=120°AB=2EF分别为CDAA1的中点.

(Ⅰ)求证:DF∥平面B1AE

(Ⅱ)若直线AD1与平面B1AE所成角的正弦值为,求AA1的长;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角B1-AE-D1的正弦值.

【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)2

【解析】

I)取AB1的中点G,连接FG,GE,证明四边形GEDF是平行四边形,可得DFEG,故而DF平面B1AE

(II)建立空间坐标系,求出平面B1AE的法向量,设AA1=tt0),令sinα=|cos|===,求出t

(III)求出两半平面的法向量,计算法向量的夹角得出二面角的大小

(Ⅰ)证明:取AB1的中点G,连接FG,GE,

,FGA1B1,,DEA1B1,

FG=DE,FGDE,

GEDF是平行四边形,

DFEG,

DF平面B1AE,EG平面B1AE,

DF平面B1AE

解:(Ⅱ)在菱形ABCD中,

∵∠BAD=120°,

∴∠ADC=60°,

∴△ACD是等边三角形,

AECD,

AEAB,

AA1平面ABCD,

AA1ABAA1AE,

A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

AA1=tt0),

,

,,

设平面B1AE的法向量=x,y,z),则,即,

不妨取z=-2,得=t,0,-2),

设直线AD1与平面B1AE所成的角为α

sinα=|cos|===

解得t=2,即AA1的长为2

(Ⅲ)设平面D1AE的法向量=x,y,z),

,

,即,

不妨取z=1,=2,0,1),

设二面角B1-AE-D1的平面角为θ,则|cosθ|=|cos|===

,即二面角B1-AE-D1的正弦值为

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