【题目】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,AA1⊥底面ABCD,∠BAD=120°,AB=2,E,F分别为CD,AA1的中点.
(Ⅰ)求证:DF∥平面B1AE;
(Ⅱ)若直线AD1与平面B1AE所成角的正弦值为,求AA1的长;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角B1-AE-D1的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)2
【解析】
(I)取AB1的中点G,连接FG,GE,证明四边形GEDF是平行四边形,可得DFEG,故而DF平面B1AE;
(II)建立空间坐标系,求出平面B1AE的法向量,设AA1=t(t>0),令sinα=|cos<,>|===,求出t;
(III)求出两半平面的法向量,计算法向量的夹角得出二面角的大小
(Ⅰ)证明:取AB1的中点G,连接FG,GE,
∵,FGA1B1,,DEA1B1,
∴FG=DE,FGDE,
∴GEDF是平行四边形,
∴DFEG,
又DF平面B1AE,EG平面B1AE,
∴DF平面B1AE
解:(Ⅱ)在菱形ABCD中,
∵∠BAD=120°,
∴∠ADC=60°,
∴△ACD是等边三角形,
∴AE⊥CD,
∴AE⊥AB,
又AA1⊥平面ABCD,
∴AA1⊥AB,AA1⊥AE,
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设AA1=t(t>0),
则,
∴,,
设平面B1AE的法向量=(x,y,z),则,即,
不妨取z=-2,得=(t,0,-2),
设直线AD1与平面B1AE所成的角为α,
则sinα=|cos<,>|===.
解得t=2,即AA1的长为2.
(Ⅲ)设平面D1AE的法向量=(x,y,z),
∵,
∴,即,
不妨取z=1,得=(2,0,1),
设二面角B1-AE-D1的平面角为θ,则|cosθ|=|cos<>|===
∴,即二面角B1-AE-D1的正弦值为
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【题目】已知函数f(x)=(|x|﹣b)2+c,函数g(x)=x+m.
(1)当b=2,m=﹣4时,f(x)≥g(x)恒成立,求实数c的取值范围;
(2)当c=﹣3,m=﹣2时,方程f(x)=g(x)有四个不同的解,求实数b的取值范围.
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【题目】《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民月收入总额(工资、薪金等)不超过免征额的部分不必纳税,超过免征额的部分为全月应纳税所得额,个人所得税税款按税率表分段累计计算.为了给公民合理减负,稳步提升公民的收入水平,自2018年10月1日起,个人所得税免征额和税率进行了调整,调整前后的个人所得税税率表如下:
(1)已知小李2018年9月份上交的税费是295元,10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同,请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少?
(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入,并制成下面的频率分布直方图.
(ⅰ)请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数;
(ⅱ)同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表,按调整后税率表,试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元?
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为,点在椭圆上,且的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点,点在直线上,求的最小值.
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【题目】现代社会的竞争,是人才的竞争,各国、各地区、各单位都在广纳贤人,以更好更快的促进国家、地区、单位的发展.某单位进行人才选拔考核,该考核共有三轮,每轮都只设置一个项目问题,能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核;不能正确解决者即被淘汰.三轮的项目问题都正确解决者即被录用.已知A选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为、、,且各项目问题能否正确解决互不影响.
(1)求A选手被淘汰的概率;
(2)设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为,求的分布列与数学期望.
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【题目】有次水下考古活动中,潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业,其用氧量包含以下三个方面:①下潜时,平均速度为每分钟米,每分钟的用氧量为升;②水底作业需要10分钟,每分钟的用氧量为0.3升;③返回水面时,速度为每分钟米,每分钟用氧量为0.2升;设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升;
(1)将表示为的函数;
(2)若,求总用氧量的取值范围.
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【题目】对于数列,称(其中)为数列的前k项“波动均值”.若对任意的,都有,则称数列为“趋稳数列”.
(1)若数列1,,2为“趋稳数列”,求的取值范围;
(2)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”;
(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前项的和为. 且对任意,都有, 试计算: ().
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【题目】设数列满足,其中A,B是两个确定的实数,
(1)若,求的前n项和;
(2)证明:不是等比数列;
(3)若,数列中除去开始的两项外,是否还有相等的两项,并证明你的结论.
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