Question

19．若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=0$，$|{\overrightarrow{AB}}|=1$，$|{\overrightarrow{BC}}|=2$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{DC}=0$，则$|{\overrightarrow{BD}}|$的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据题意可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得|$\overrightarrow{BD}$|的最大值为直径AC

解答 解：如图所示：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{DC}=0$，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{DC}$，
∴四边形ABCD内接于圆O．
可得⊙O的直径AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
则|$\overrightarrow{BD}$|的最大值为直径$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$

点评 本题考查了圆的内接四边形、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．