Question

等差数列{a_n}的公差d不为0，S_n是其前n项和，给出下列命题：
①若d＜0，且S₃=S₈，则S₅和S₆都是{S_n}中的最大项；
②给定n，对于一切k∈N^*（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n；
③若d＞0，则{S_n}中一定有最小的项；
④存在k∈N^*，使a_k-a_k+1和a_k-a_k-1同号．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：根据等差数列的求和公式s_n=na₁+d=n²+（a₁-）n，因为d小于0得到s_n是开口向下的抛物线，根据S₃=S₈得到抛物线的对称轴即可得到最大项，得到①正确；同理d大于0时，得到函数的最小项，③正确；根据等差中项的性质得到②正确；根据等差数列的通项公式和等差数列的性质得到a_k-a_k+1和a_k-a_k-1异号即④错．
解答：解：因为{a_n}成等差数列，所以其前n项和是关于n的二次函数的形式且缺少常数项，d＜0说明二次函数开口向下，又S₃=S₈，说明函数关于直线x=5.5对称，所以S₅、S₆都是最大项，①正确；
同理，若d＞0，说明函数是递增的，故{S_n}中一定存在最小的项，③正确；
而②是等差中项的推广，正确；
对于④，a_k-a_k+1=-d，a_k-a_k-1=d，因为d≠0，所以二者异号．
所以正确命题的个数为3个．
故选B
点评：考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式，掌握等差数列的性质和通项公式．