Question

已知集合A={(x，y)|y=

4

4+2x-x2

，x∈R}，B={（x，y）|（x-1）²+y²≤a²，a＞0}，是否存在正实数a，使得A∩B=A，如果存在求a的范围？如果不存在请说明理由．

Answer 1

分析：根据A与B的交集等于集合A，得到集合A是集合B的子集，即集合A的所以元素都满足集合B，所以把集合中的函数代入集合B中的不等式中，消去y得到关于x的不等式，然后设不等式的左边为一个函数T（x），利用换元法设t=

4+2x-x2

，化简后得到（x-1）²等于5-t²，即可得到T与t的二次函数关系式，然后根据二次项系数小于0，得到此二次函数为开口向下的抛物线，当t为顶点横坐标时，T的最大值为顶点的纵坐标，然后让a大于等于这个最大值，即可得到关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．

解答：解：∵A∩B，∴A⊆B，
将y=

4	4+2x-x2

代入（x-1）²+y²≤a²，
得(x-1)2+

4+2x-x2

≤a2，
设T(x)=(x-1)2+

4+2x-x2

，
令t=

4+2x-x2

=

5-(x-1)2

∈[0，

5

]，
∴T=5-t2+t=-(t-

1

2

)2+

21

4

，
当t=

1

2

时，Tmax=

21

4

．
依题意得a2≥

21

4

，
∴a≥

21

2

．

点评：此题考查学生掌握两集合的包含关系，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道综合题．学生在求函数最大值时得到方法是：采用换元的方法转化为二次函数，然后利用二次函数的图象与性质得到函数的最大值．