Question

14．设a，b，c为正数且各不相等，求证：$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$＞$\frac{9}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 原不等式即为（a+b+c）（$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$）＞9，即为[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）＞9，运用三元均值不等式，即可得证．

解答 证明：由于a，b，c为正数且各不相等，
则（a+b+c）（$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$）
=[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）
＞3$\root{3}{（a+b）（b+c）（c+a）}$•3$\root{3}{\frac{1}{（a+b）（b+c）（c+a）}}$=9．
即有$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$＞$\frac{9}{a+b+c}$．
另证法（三元柯西不等式）：∵a、b、c∈R*，∴a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，
由柯西不等式得[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）
≥（$\sqrt{（a+b）•\frac{1}{a+b}}$+$\sqrt{（b+c）•\frac{1}{b+c}}$+$\sqrt{（c+a）•\frac{1}{c+a}}$）²=9，
即2（a+b+c）（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）≥9，
而a，b，c各不相等，
∴$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$＞$\frac{9}{a+b+c}$．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查三元基本不等式的运用：证明不等式，属于中档题．