Question

若将函数f（x）=sinx的图象按向量

a

=(-π，-2)平移后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数F（x）=f（x）-

1

g(x)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先设P（x，y）是函数f（x）=sinx的图象上任意一点，按向量

a

=(-π，-2）平移后在函数g（x）的图象上的对应点为P^′（x^′，y^′），再根据平移前后对应坐标之间的关系找到

x=x′+π y=y′+2

；最后代入函数f（x）=sinx的解析式即可得到函数g（x）的解析式；
（2）把第一问的结果直接代入，整理后借助于基本不等式即可求出函数F（x）=f（x）-

1

g(x)

的最小值．

解答：解：（1）设P（x，y）是函数f（x）=sinx的图象上任意一点，
按向量

a

=(-π，-2）平移后在函数g（x）的图象上的对应点为P^′（x^′，y^′），
则

x′=x-π y′=y-2

⇒

x=x′+π y=y′+2

即y^′+2=sin（x′+π），
所以函数g（x）=-sinx-2；
（2）∵F（x）=f（x）-

1

g(x)

=sinx+

1

sinx+2

=sinx+2+

1

sinx+2

-2
≥2

(sinx+2)• 1 sinx+2

-2=0．

当sinx+2=

1

sinx+2

即sinx=-1时，F（x）_min=0．．

点评：本题主要考查三角函数的平移以及利用基本不等式求函数的值域．三角函数的平移原则为左加右减上加下减