Question

【题目】将方格表的每个方格任意填入或，然后允许进行如下操作：每次任意选择一行（或列），将这一行（或列）中的数全部变号.若无论开始时方格表的数怎样填，总能经过不超过次操作，使得方格表每一行中所有数的和、每一列中所有数的和均非负.试确定的最小值.

Answer 1

【答案】

【解析】

若方格表每一行中所有数的和、每一列中所有数的和均非负，则称方格表具有“性质”.

首先证明：.

事实上，当开始时方格表中的数均为时，为使方格表具有性质，设对行进行了次操作，对列进行了次操作.

若，或，则结论成立；

若，且，则必有一行没有进行操作，从而，对列进行的操作不少于次，即.

同理，.

故.

其次，对方格表中同一行（或列）进行偶数次操作等价于没有对这一行（或列）进行操作，对方格表中同一行（或列）进行奇数次操作等价于对这一行（或列）进行了一次操作，因此，对方格表进行的不同操作有种.

接下来证明：这些操作结果中使方格表中所有数的和最大的方格表必具有性质.

若不然，设其中有一行（或列）中的数的和小于零.则对这一行（或列）进行一次操作，得到的方格表中所有数的和变大，与假设矛盾.

这说明，能经过有限次操作使得方格表具有性质.

最后证明：可以经过不超过次操作使得方格表具有性质.

由上面的论证，不妨设对行进行操作，对列进行操作可使方格表具有性质.

若，则结论成立；

若，则，并且对方格表中未进行操作的行与列都进行一次操作的结果与对前面行列进行操作的结果相同，于是，可以进行

次操作使方格表具有性质.

综上，.