练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    若不等式x+2
    		2xy
    ≤a（x+y） 对一切正数x、y恒成立，则正数a的最小值为（　　）
    分析：不等式x+2
    		2xy
    ≤a（x+y） 对一切正数x、y恒成立，可得a≥(
    x+2
    		2xy
    x+y
    )max    ．令f（x，y）=
    x+2
    		2xy
    x+y
    =
    1+2
    		2
    •
    y
    x
    1+
    y
    x
    ，x＞0，y＞0．令
    y
    x
    =t＞0    ，则g（t）=
    1+2
    		2
    t
    1+t2
    ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
    解答：解：∵不等式x+2
    		2xy
    ≤a（x+y） 对一切正数x、y恒成立，∴a≥(
    x+2
    		2xy
    x+y
    )max    ．
    令f（x，y）=
    x+2
    		2xy
    x+y
    =
    1+2
    		2
    •
    y
    x
    1+
    y
    x
    ，x＞0，y＞0．
    令
    y
    x
    =t＞0    ，则g（t）=
    1+2
    		2
    t
    1+t2
    ，g′(t)=
    2
    		2
    (1+t2)-(1+2
    		2
    t)•2t
    (1+t2)2
    =
    -2(
    		2
    t2+t-
    		2
    )
    (1+t2)2
    =
    -2(
    		2
    t-1)(t+
    		2
    )
    (1+t2)2
    ，
    令g′（t）=0，解得t=
    		2
    2
    ，可知当t=
    		2
    2
    时，g（t）取得极大值即最大值，
    g（t）=
    1+2
    		2
    ×
    		2
    2
    1+(
    		2
    2
    )2
    =2．
    ∴a≥2．
    故a的最小值为2．
    故选B．
    点评：本题考查了恒成立问题的等价转化、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    同步练习册答案