Question

设函数f(x)＝x⁴＋ax³＋2x²＋b(x∈R)，其中a，b∈R．

(Ⅰ)当时，讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；

(Ⅲ)若对于任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：． 　　当时， 　　． 　　令，解得，，． 　　当变化时，，的变化情况如下表： 　　所以在，内是增函数，在，内是减函数． 　　(Ⅱ)解：，显然不是方程的根． 　　为使仅在处有极值，必须恒成立，即有． 　　解此不等式，得．这时，是唯一极值． 　　因此满足条件的的取值范围是． 　　(Ⅲ)解：由条件可知，从而恒成立． 　　当时，；当时，． 　　因此函数在上的最大值是与两者中的较大者． 　　为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当 　　　　即 　　在上恒成立． 　　所以，因此满足条件的的取值范围是． 　　本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．