【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切;
(1)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;
(2)在曲线上取两点,与原点构成,且满足,求面积的最大值.
【答案】(1),;(2)
【解析】
(1)求出直线l的直角坐标方程为y2,曲线C是圆心为(,1),半径为r的圆,直线l与曲线C相切,求出r=2,曲线C的普通方程为(x)2+(y﹣1)2=4,由此能求出曲线C的极坐标方程.(2)设M(ρ1,θ),N(ρ2,),(ρ1>0,ρ2>0),由2sin(2),由此能求出△MON面积的最大值.
(1)∵直线l的极坐标方程为,
∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y2,
曲线C是圆心为(,1),半径为r的圆,直线l与曲线C相切,
可得r2,
∵曲线C的参数方程为(r>0,φ为参数),
∴曲线C的普通方程为(x)2+(y﹣1)2=4,
所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0,
即.
(2)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1,θ),N(ρ2,),(ρ1>0,ρ2>0),
4sin()sin()=2sinθcosθ+2
=sin2θ2sin(2),
当时,,故
所以△MON面积的最大值为2.
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【题目】为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析.下面是该生7次考试的成绩.
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;
(2)已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议.
参考公式:方差公式:,其中为样本平均数.,。
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是菱形,,为等边三角形,是线段上的一点,且平面.
(1)求证:为的中点;
(2)若为的中点,连接,,,,平面平面,,求三棱锥的体积.
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【题目】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点,点在椭圆短轴上,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上的一个不在轴上的动点,为坐标原点,过椭圆的右焦点作的平行线,交曲线于两点,求面积的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的焦距为4,且过点.
(1)求椭圆的方程
(2)设椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与椭圆交于、两点,问是否存在直线,使得为的垂心,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
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