Question

（08年哈九中）已知在直三棱柱中，

.

（1）证明：；

（2）若是中点，求点到平面的距离；

（3）求二面角的大小 .

 

Answer 1

解析：（1）证明：连结B₁C，

在直线ABC―A₁B₁C₁中，∵BC=CC₁

∴四边形ACC₁A₁是正方形，∴C₁B⊥CB。

又∵AC⊥BC，面BC₁⊥面ABC

∴AC⊥平面BB₁C₁C，

∴CB₁是斜线AB₁在平面CBB₁C₁的射影

∴AB₁⊥BC₁

   （2）连结A₁C与AC₁相交于点O

∵AA₁CC₁为正方形 ∴A₁C⊥AC₁

又∵平面AA₁CC₁⊥平面A₁B₁C₁ 

B₁C₁⊥A₁C₁  ∴B₁C₁⊥平面AA₁CC₁

∴A₁C⊥B₁C₁

∴A₁C⊥平面AB₁C₁

∴A₁O是A₁点到平面AB₁C₁的距离

∵AA₁CC₁为正方形 AC=CC₁=2 ∴A₁O=

连结A₁M与AB₁相交于D  ∵M为AB的中点

∴  ∴M到平面AB₁C₁的距离h是A₁到平面AB₁C₁距离的

∴h=。

   （3）作OM⊥AB₁连结AM  ∵A₁O⊥平面AB₁C₁

OM⊥AB₁  ∴A₁M⊥AB₁  ∴∠A₁MC是二面角

A₁―AB₁―C₁的平面角。

在矩形AA₁BB₁中，AC=BC=2  ∠ACB=90° 

又∵AA₁=2  ∴AB₁=

∴二面角C₁―AB₁―M为大小为120°。