Question

已知a＝(sinωx，－2cosωx)，b＝(2cosωx，cosωx)(ω>0)，设函数f(x)＝a·b＋，且函数f(x)图象上相邻两条对称轴之间的距离是.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若f(A)＝－1，其中A是△ABC的内角，求A的值；

(3)若f(α)＝－，α∈(0，)，求sin2α的值.

Answer 1

(1)f(x)＝2sinωxcosωx－2cos²ωx＋

＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin(2ωx－)，

由条件，函数f(x)的周期为π，∴＝π，

∴ω＝1，∴f(x)＝2sin(2x－).

(2)由(1)知，f(A)＝2sin(2A－)＝－1，

∴sin(2A－)＝－，

∵A是△ABC的内角，∴0<A<π，

∴－<2A－<，

∴2A－＝－或，∴A＝或.

(3)由f(α)＝－，知2sin(2α－)＝－，

∴sin(2α－)＝－，

∵α∈(0，)，∴2α－∈(－，)，

而sin(2α－)<0，∴2α－∈(－，0)，

∴cos(2α－)＝，

sin2α＝sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋

cos(2α－)sin

＝－×＋×＝.