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      已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：

      ，

    ，其中a为常数，k为非零常数.

    （Ⅰ）令，证明数列是等比数列；

    （Ⅱ）求数列的通项公式；

    （III）当时，求.

    （Ⅰ）见解析

    （Ⅱ）

    （III）


    解析:

    （Ⅰ）证明：由，可得

    .由数学归纳法可证

    .

     由题设条件，当时

    因此，数列是一个公比为k的等比数列.

    （Ⅱ）解：由（1）知，

    当时，

    当时，    .

    而  

    所以，当时,      .上式对也成立. 所以，数列的通项公式为. 当时

        。上式对也成立，所以，数列的通项公式为    ，

    （Ⅲ）解：当时,  .

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    ①f（3）的值为
    0
    0
    ，
    ②f（2011）的值为
    -1
    -1
    ．

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