Question

如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=

3

，M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M-BN-C为30°．
（1）求

PM

MC

的值；
（2）求直线PB与平面BMN所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一（几何法）：（Ⅰ）作ME∥CD交CD于E，由已知中，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，N是AD的中点，可得BN⊥AD，结合侧面PAD垂直于底面ABCD，及面面垂直和线面垂直的性质可得BN⊥NE，即∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，由二面角M-BN-C为30°，可得∠DNE=30°，可求出DE=

1

4

DP，进而得到

PM

MC

的值；
（2）连接BE，由（Ⅰ）可知PE⊥平面BMN，即∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．连接PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，解△PBE可得直线PB与平面MBN所成的角．
解法二（向量法）：（Ⅰ）建立如图所示的坐标系N-xyz，设

PM

=λ

MC

（λ＞0），则M（

-λ

1+λ

，

3 λ

1+λ

，

3

1+λ

），求出面MBN的法向量，及面BNC的法向量，由二面角M-BN-C为30°，求出λ值，即可得到

PM

MC

的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ），

n

=（

3

，0，3）为面MBN的法向量，设直线PB与平面MBN所成的角为θ，求出PB的方向向量

PB

，代入线面夹角公式sinθ=

| PB • n |

| PB ||n|

，可得直线PB与平面MBN所成的角．

解答：解法一（几何法）：（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD=E．
∵∠ADC=∠BCD=90°，AD=2BC=2，N是AD的中点，
∴BN⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BN⊥平面PAD，
∴BN⊥NE，
∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，
即∠DNE=30°．…（3分）
∵PA=PD=AD，
∴∠PDN=60°，
∴∠DEN=90°，
∴DE=

1

4

DP，
∴CM=

1

4

CP，故

PM

MC

=3．…（6分）
（Ⅱ）连接BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，
则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．
连接PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，
∴PB=

PN2+BN2

=

PN2+CD2

=

6

，…（9分）
又PE=

3

4

PD=

3

2

，∴sin∠PBE=

PE

PB

=

6

4

．
所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin

6

4

．…（12分）
解法二（向量法）：
（Ⅰ）建立如图所示的坐标系N-xyz，
其中N（0，0，0），A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），D（-1，0，0），
P（0，0，

3

）．
设

PM

=λ

MC

（λ＞0），则M（

-λ

1+λ

，

3 λ

1+λ

，

3

1+λ

），
于是

NB

=（0，

3

，0），

NM

=（

-λ

1+λ

，

3 λ

1+λ

，

3

1+λ

），…（3分）
设

n

=（x，y，z）为面MBN的法向量，则

NB

•

n

=0，

NM

•

n

=0，
∴

3

y=0，-λx+

3

λy+

3

z=0，取

n

=（

3

，0，λ），
又

m

=（0，0，1）为面BNC的法向量，由二面角M-BN-C为30°，得
|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

λ

3+λ2

=cos30°=

3

2

，
解得λ=3，
故

PM

MC

=3．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），

n

=（

3

，0，3）为面MBN的法向量，…（8分）
设直线PB与平面MBN所成的角为θ，由

PB

=（0，

3

，-

3

），得
sinθ=

| PB • n |

| PB ||n|

=

3 3

6 ×2 3

=

6

4

，
所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin

6

4

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面所成的角，其中方法一的关键是熟练掌握二面角及线面夹角的定义，方法二的关键是建立空间直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题．