Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），将A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入椭圆E的方程，得到关于m，n的方程组，即可解得 m=

1

4

，n=

1

3

．最后写出椭圆E的方程

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）先设△DFH边上的高为h，由于 S△DFH=

1

2

×2×h=h，得到当点D在椭圆的上顶点时，h最大为

3

，再设△DFH的内切圆的半径为R，因为△DFH的周长为定值6．所以

1

2

R×6=S△DFH，从而救是R的最大值，从而解决问题．
（3）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理．得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根系数的关系，求得P，Q的坐标，下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等．

解答：解：（1）设椭圆方程为mx²+my²=1（m＞0，n＞0），将A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入椭圆E的方程，得

4m=1 m+ 9 4 n=1

解得m=

1

4

，n=

1

3

．∴椭圆E的方程

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（2）|FH|=2，设△DFH边上的高为S△DFH=

1

2

×2×h=h
当点D在椭圆的上顶点时，h最大为

3

，所以S_△DFH的最大值为

3

．
设△DFH的内切圆的半径为R，因为△DFH的周长为定值6．所以

1

2

R×6=S△DFH，
所以R的最大值为

3

3

．所以内切圆圆心的坐标为(0，±

3

3

)（10分）
（3）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理．
得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根系数的关系，得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4(k2-3)

3+4k2

．
直线AM的方程为：y=

y1

x1+2

(x+2)，它与直线x=4的交点坐标为p(4，

6y1

x1+2

)，
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q(4，

2y2

x2-2

)．
下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2)

(x1+2)(x2-2)

=

2k[2x1x2-5(x1+x2)+8]

(x1+2)(x2-2)

=

2k[ 8(k2-3) 3+4k2 - 40k2 3+4k2 +8]

(x1+2)(x2-2)

=0
因此结论成立．
综上可知．直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．（16分）

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．解答的关键是将点的坐标代入方程，利用待定系数法求解．