Question

13．若A-B=$\frac{π}{6}$，tanA-tanB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则cosA•cosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正切公式求得 tanA 和tanB 的值，可得cosA和cosB的值，从而求得cosAcosB的值．

解答 解：若A-B=$\frac{π}{6}$，tanA-tanB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ①，则tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanA•tanB}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{1+tanA•tanB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
求得tanA•tanB=1②．
结合①②求得tanA=$\sqrt{3}$，tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；或 tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tanB=-$\sqrt{3}$．
当tanA=$\sqrt{3}$，tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，可以令A=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{6}$，求得cosA=$\frac{1}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
或 tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tanB=-$\sqrt{3}$ 时，可以令A=-$\frac{π}{6}$，B=-$\frac{π}{3}$，求得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=$\frac{1}{2}$，cosAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．