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若R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且当0<x≤1时,f(x)=log2x,则方程在区间(2010,2012)内的所有实数根之和为( )
A.4020
B.4022
C.4024
D.4026
【答案】分析:由奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x+4)=f(x),再利用f(0)=0,及0<x≤1时,f(x)=log2x,数形结合,可求得方程f(x)=+f(0)=在区间(2010,20121)内的所有实根之和.
解答:解:∵函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(2-x)=f(x),又y=f(x)为奇函数,
∴f(x+2)=f(-x)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为4,
又定义在R上的奇函数,故f(0)=0,
∵f(x)=f(0)
∴f(x)=
∵0<x≤1时,f(x)=log2x≤0,
∴f(x)=在(0,1)内没有一实根,在(-1,0)内有一实数根x1
又函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(x)=在(2,3)有一个实根x2,且x1+x2=2;
∵f(x)的周期为4,
当2010<x<2012时,函数的图象与2<x<4的图象一样
∴原方程在区间(2010,2012)内的实根有2个,设为a,b,则
∴a+b=4022
故选B
点评:本题考查根的存在性及根的个数判断及奇偶函数图象的对称性,关键在于判断f(x)的周期为4,再结合0<x≤1时,f(x)=log2x与奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,数形结合予以解决,属于中档题.
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-
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4
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y
x
的取值范围为
[-
1
2
,1]
[-
1
2
,1]

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  1. A.
    4020
  2. B.
    4022
  3. C.
    4024
  4. D.
    4026

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