Question

如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p₀）开始计算时间．
（1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？

Answer 1

分析：（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；
（2）令最大值为6，即 z=4sin(

π

6

t-

π

6

)+2=6可求得时间．

解答：解：（1）依题意可知z的最大值为6，最小为-2，
∴

A+B=6 -A+B=-2

⇒

A=4 B=2

；
∵op每秒钟内所转过的角为(

5×2π

60

)=

π

6

t，得z=4sin(

π

6

t+φ)+2，
当t=0时，z=0，得sinφ=-

1

2

，即φ=-

π

6

，故所求的函数关系式为
z=4sin(

π

6

t-

π

6

)+2
（2）令z=4sin(

π

6

t-

π

6

)+2=6，得sin(

π

6

t-

π

6

)=1，
取

π

6

t-

π

6

=

π

2

，得t=4，
故点P第一次到达最高点大约需要4S．

点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．