Question

已知F₁，F₂是等轴双曲线C：x²-y²=1的左、右焦点，点P在C上，∠F₁PF₂=60°，则|PF₁|•|PF₂|等于

4

．

Answer 1

分析：根据双曲线方程，算出焦距|F₁F₂|=2

2

，△F₁PF₂中利用余弦定理，结合双曲线的定义列出关于|PF₁|、|PF₂|的方程组，联解即可得到|PF₁|•|PF₂|的值．

解答：解：∵双曲线C的方程为：x²-y²=1，
∴a²=b²=1，得c=

a2+b2

=

2

由此可得F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），焦距|F₁F₂|=2

2

∵∠F₁PF₂=60°，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，即|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|•|PF₂|=8①
又∵点P在双曲线C：x²-y²=1上，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a=2，平方得|PF₁|²-2|PF₁|•|PF₂|+|PF₂|²=4②
①-②，得|PF₁|•|PF₂|=4
故答案为：4

点评：本题给出等轴双曲线上一点对两个焦点的张角等于60度，求两条焦半径的积，着重考查了余弦定理和双曲线的定义、简单性质等知识，属于中档题．