Question

（2013•东城区一模）数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若an=an（a≠0），则位于第10行的第8列的项等于

a⁸⁹

，a₂₀₁₃在图中位于

第45行的第77列

．（填第几行的第几列）

Answer 1

分析：①由于每行的所有数的个数形成等差数列，故可得到前9行的数的个数，从而得出答案；
②由①可知前k行所有a_i的个数为b₁+b₂+…b_k=1+3+…（2k-1）=k²．解出（k-1）²≤2013即可得出答案．

解答：解：①设每行的数的个数为数列{b_n}，则此数列为首项为1，公差为2的等差数列，∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
于是前9行所有a_n的个数为b₁+b₂+…+b₉=

9(1+2×9-1)

2

=81．
∴位于第10行的第8列的项等于a₈₁₊₈=a89=a89．
②由①可知：前k行所有a_i的个数为b₁+b₂+…b_k=1+3+…（2k-1）=k²．
由（k-1）²＜2013，解得k＜1+

2013

，
而44²＜2013＜45²，∴k＜1+44=45．
∴前44行的所有数a_i的个数为44²=1936．
而1936+77=2013，
∴a₂₀₁₃在图中位于第45行的第77 列．
故答案分别为a⁸⁹，第45行的第77 列．

点评：正确理解每行的所有数的个数形成等差数列，利用等差数列的通项公式和前可知前k行所有a_i的个数为b₁+b₂+…b_k=1+3+…（2k-1）=k²是解题的关键．