Question

已知函数f(x)=( 

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 )x-log2x，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，满足f （a） f （b） f （c）＜0，且实数d是方程f （x）=0的一个解．给出下列四个不等式：①d＜a，②d＞b，③d＜c，④d＞c，其中有可能成立的不等式的序号是

 

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Answer 1

分析：由题意知，函数f(x)=( 

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 )x-log2x 在定义域内是个减函数，由f （a） f （b） f （c）＜0，可得f （a）、f （b）、f （c）全都小于0，或者两个大于0且一个小于0．由已知条件：实数d是方程f （x）=0的一个解知，f（d）=0，由此可得 a、b、c、d 的大小关系．

解答：解：函数f(x)=( 

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 )x-log2x是个减函数，定义域为正实数集，
∵正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，
∴0＜a＜b＜c，
∵f （a） f （b） f （c）＜0，
∴f （a）、f （b）、f （c）全部小于0      （1），
或 f （a）＞0，f （b）＞0，f （c）＜0             （2），
∵由已知 实数d是方程f （x）=0的一个解，故有 f（d）=0，
由（1）得：d＜a，d＜b，d＜c，故有 ①③成立．
由（2）得：d＞a，d＞b，d＜c，故有 ②③成立．
故答案为 ①②③．

点评：本题考查利用函数的单调性及特殊点判断自变量的大小关系，体现了分类讨论的数学思想．