【题目】椭圆过点,离心率为,左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当的面积为时,求直线的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)直线方程为:或。
【解析】
试题(Ⅰ)由已知条件椭圆过点,将代入方程,得到一个方程,再由,可得,由此能求出椭圆方程.(Ⅱ)当的面积为时,求直线的方程,椭圆右焦点. 当直线的斜率不存在时,验证不符合条件,故直线的斜率存在,设直线方程,代入椭圆方程得到关于的一元二次方程,由,由根与系数关系即可求出斜率,从而可得直线的方程。
也可设设直线的方程为,代入椭圆方程得到关于的一元二次方程,由根与系数关系即可求出斜率,从而可得直线的方程。
试题解析:(1)因为椭圆过点,所以①,又因为离心率为,所以,所以②,解①②得
所以椭圆的方程为:
(2)①当直线的倾斜角为时,
,不适合题意
②当直线的倾斜角不为时,设直线方程,
代入得:
设,则
,
所以直线方程为:或
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【题目】2018年12月18日上午10时,在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城,40年砥砺奋进,40年春风化雨,中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗.会后,央视媒体平台,收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片,并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”,其作者年龄集中在之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:
(Ⅰ)求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,作者年龄X服从正态分布,其中近似为样本平
均数,近似为样本方差.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)央视媒体平台从年龄在和的作者中,按照分层抽样的方法,抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会,现要从中选出3人作为代表发言,设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y,求变量Y的分布列和数学期望.附:,若,则,
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【题目】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为,,……,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过克的产品数量.
(2)在上述抽取的件产品中任取件,设为重量超过克的产品数量,求的分布列.
(3)从流水线上任取件产品,求恰有件产品合格的重量超过克的概率.
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【题目】下表是我省某地区2012年至2018年农村居民家庭年纯收入(单位:万元)的数据如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
年纯收入 | 2 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 6 |
(1)求关于的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2012年至2018年该地区农村居民家庭年纯收入的变化情况,并预测该地区2019年农村居民家庭年纯收入(结果精确到0.1)。
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,。
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【题目】“既要金山银山,又要绿水青山”。某风景区在一个直径为米的半圆形花圆中设计一条观光线路。打算在半圆弧上任选一点(与不重合),沿修一条直线段小路,在路的两侧(注意是两侧)种植绿化带;再沿弧修一条弧形小路,在小路的一侧(注意是一侧)种植绿化带,小路与绿化带的宽度忽略不计。
(1)设(弧度),将绿化带的总长度表示为的函数;
(2)求绿化带的总长度的最大值。
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,,.
(1)求证:平面平面;
(2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的正弦值.
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