考点:两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值
专题:三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析:本题(1)通过化简,利用辅助角公式,将题目中的三角函数化成
sin(2x+
),利用
求出函数f(x)的最小正周期;(2)由自变量x的范围,求出2x+
的取值范围,结合正弦函数图象,求出sin(2x+
)的取值范围,从而得到函数f(x)在区间[-
,
]上的最大值和最小值,得到本题结论.
解答:
解:(1)∵f(x)=sin(2x+
)+sin(2x-
)+cos2x,x∈R,
∴f(x)=sin2xcos
+cos2xsin
+sin2xcos
-cos2xsin
+cos2x
=2sin2xcos
+cos2x
=sin2x+cos2x
=
(
sin2x+
cos2x)
=
sin(2x+
).
∴T=
=π.
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵
-≤x≤,
∴
-≤2x+
≤
π,
∵
-≤sin(2x+
)≤1,
(当且仅当2x+
=-
,即x=
-时,取最小值;
2x+
=
,即x=
时,取最大值)
∴-1≤
sin(2x+
)≤
.
∴函数f(x)在区间[-
,
]上的最大值为
,最小值为-1.
点评:本题考查了三角函数的化简、三角函数的图象,本题难度不大,属于基础题.