Question

【题目】如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，

∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．

（1）证明：EF∥面PAD；

（2）证明：面PDC⊥面PAD；

（3）求四棱锥P—ABCD的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析: （1）确定出EF∥AP，运用判断定理可证明．（2）抓住CD⊥AD，CD⊥面PAD，运用面面垂直的定理可证明．（3）确定PO为四棱锥P﹣ABCD的高．

求出PO=1，运用体积公式V=PO×AB×AD求解即可．

试题解析：

（1）如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F，又E是PC的中点，所以，EF∥AP

∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD

（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP面PAD，∴AP⊥CD又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线且在面PDC内，∴AP⊥面PCD，又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD

（3）取AD中点为O，连接PO，因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高，∵AD=2，∴PO=1，

所以四棱锥P—ABCD的体积