Question

（本题满分14分）
如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2a，DE=a， P为AB的中点.

（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求证：AE∥平面BCF.

Answer 1

证明：（1）在矩形ABCD中，由AP=BP=BC=2a可得PC=PD=………………1分
又CD=4a，由勾股定理可得PD⊥PC……………………3分
因为CF⊥平面ABCD，则PD⊥CF……………………5分
由PCCF=C可得PD⊥平面PFC……………………6分
故平面PCF⊥平面PDE……………………7分
（2）作FC中点M，连接EM、BM
由CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD可得CM∥DE，又CM=DE=a，得四边形DEMC为平行四边形……………………9分
故ME∥CD∥AB，且ME=D=AB，所以四边形AEMB为平行四边形
故AE∥BM……………………12分
又AE平面BCF，BM平面BCF，所以AE∥平面BCF. ……………………14分
注：本题也可以用平面ADE∥平面BCF证。

略