Question

已知函数f（x）=x³+ax+b．
（1）若f（x）在x=0处取得极值为-2，求a、b的值；
（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（0）=0，f（0）=-2，求出a，b的值．
（2）对函数f（x）=x³+ax+b进行求导，转化成f′（x）在（1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出参数a的取值范围．

解答：解：（1）根据题意得：
f′（0）=a=0，
f（0）=b=-2．
（2）f′（x）=3x²+a
当a≥0，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，满足题意；
当a＜0，f′(x)=3x2+a=0，x2=-

a

3

，x1=-

- a 3

，x2=

a -3

∴

a -3

≤1，∴0＞a≥-3
∴综上，a的取值范围是a≥-3．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数的关系，函数的单调性特征与导数之间的综合应用能力，把两个知识加以有机会组合．