Question

8．已知函数f（x）=-x²+6x-a，g（x）=4lnx．
（1）求函数g（x）在x=e处的切线方程；
（2）a为何值时，函数y=f （x）的图象与函数y=g（x）的图象有三个不同的交点．

Answer 1

分析 （1）求得g（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）令h（x）=g（x）-f （x），求得导数，求得单调区间和极值，由题意可得极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）由g（x）=4lnx得g（e）=4，
$g'（x）=\frac{4}{x}$，切线的斜率为g′（e）=$\frac{4}{e}$，
故函数g（x）在x=e处的切线方程为y-4=$\frac{4}{e}$（x-e）即y=$\frac{4}{e}$x；
（2）令h（x）=g（x）-f （x）=4lnx+x²-6x+a （x＞0），
则$h'（x）=\frac{4}{x}+2x-6=2•\frac{{{x^2}-3x+2}}{x}$
=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
令h'（x）＞0（x＞0），则 0＜x＜1或x＞2，
令h'（x）＜0（x＞0）则1＜x＜2，
故h（x）在（0，1）上递增，（1，2）上递减，（2，+∞）上递增．
要使y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象有三个不同的交点，
则$\left\{\begin{array}{l}h{（x）_{极小值}}＜0\\ h{（x）_{极大值}}＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}h（2）=4ln2-8+a＜0\\ h（1）=-5+a＞0\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a＜8-4ln2\\ a＞5\end{array}\right.$，
故5＜a＜8-4ln2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．