Question

【题目】已知椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的右焦点为（2 ，0），且椭圆Γ上一点M到其两焦点F1 ， F2的距离之和为4 ．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆Γ交于不同两点A，B，且|AB|=3 ．若点P（x0 ， 2）满足| |=| |，求x0的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知2a=4 ，得a=2 ，又c=2 ． ∴b2=a2﹣c2=4．
∴椭圆Γ的方程为 ．
（Ⅱ）由 ，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，①
∵直线l与椭圆Γ交于不同两点A、B，
∴△=36m2﹣16（3m2﹣12）＞0，
解得m2＜16．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则x1 ， x2是方程①的两根，
则 ， ．
∴|AB|= = = ．
又由|AB|=3 ，得﹣ ，解得m=±2
据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．
设AB的中点为E（x0 ， y0），则 =﹣ ， ，
当m=2时，E（﹣ ），
∴此时，线段AB的中垂线方程为y﹣ =﹣（x+ ），即y=﹣x﹣1．
令y=2，得x0=﹣3．
当m=﹣2时，E（ ），
∴此时，线段AB的中垂线方程为y+ =﹣（x﹣ ），即y=﹣x+1．
令y=2，得x0=﹣1．…（1分）
综上所述，x0的值为﹣3或﹣1
【解析】（Ⅰ）由已知2a=4 ，c=2 ．由此能求出椭圆Γ的方程．（Ⅱ）由 ，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线性质、中点坐标公式，结合已知条件能求出x0的值．